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红黑树

介绍：

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  • 红黑树是一种特化的AVL树（平衡二叉树），都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。
  • 红黑树是一种平衡二叉查找树的变体，它的左右子树高差有可能大于 1，所以红黑树不是严格意义上的平衡二叉树（AVL），但 对之进行平衡的代价较低， 其平均统计性能要强于 AVL
  • 由于每一棵红黑树都是一颗二叉排序树，因此，在对红黑树进行查找时，可以采用运用于普通二叉排序树上的查找算法，在查找过程中不需要颜色信息
1. 图文解析

红黑树性质

  • 性质一：结点是红色或黑色
  • 性质二：根结点是黑色
  • 性质三：空结点为叶子结点，且所有叶子结点都是黑色
  • 性质四：每个红色结点的两个子结点都是黑色
  • 性质五：从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点
1.1 存储结构

与一般二叉树相比，红黑树的结构存在父结点指针和结点颜色的标识

typedef char DataType;

typedef struct RBNode
{int color;                      // 结点颜色（0:黑色  1:红色）
    DataType data;                  // 结点数据
    struct RBNode *parent;          // 父结点指针，用于定位
    struct RBNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针
}RBNode, *RBTree;
1.2 红黑树的插入操作

在红黑树的插入时，第一个问题就是新插入的结点应该为红色还是黑色呢？

  • 根据性质二：如果初始红黑树为空，则插入的一定是根节点且为黑色
  • 根据性质五：如果新插入的结点为黑色，那么势必会导致路径上的黑色结点数量的增加，无疑增加了插入后的调整难度
  • 根据性质三：如果新插入的结点为红色，那么新结点的两个空结点一定为黑色，那么就不会增加路径上的黑色结点数量

总结：若插入的是根结点，则设置为黑色，其他情况则设置为红色

已知新插入的结点为红色，而如果父结点也为红色，就会违反性质四，则说明此时需要调整红黑树
同时在父亲结点为红色的条件下，则根据性质二，父亲结点一定不是根结点，且存在祖父结点

调整情况如下：

若父亲结点为祖父结点的左孩子结点

  1. 叔叔结点为红色
    调整过程：父亲结点和叔叔结点均变为黑色，祖父结点若不是根结点，则变为红色，并将祖父结点视为新插入的结点，继续向上调整

在这里插入图片描述

  1. 叔叔结点为黑色

2.1 插入的位置是父亲结点的左孩子

  • 调整过程：父亲结点变为黑色，祖父结点变为红色，最后右旋祖父结点

在这里插入图片描述

2.2 插入父亲结点的右孩子

  • 调整过程：左旋父结点，而后可视为2.1的情况进行调整

在这里插入图片描述

若父亲结点为祖父结点的右孩子结点，其操作与以上情况对称，详细见代码

2. 源代码
#include#includetypedef char DataType;

typedef struct RBNode
{int color;                      // 结点颜色（0:黑色  1:红色）
    DataType data;                  // 结点数据
    struct RBNode *parent;          // 父结点指针，用于定位
    struct RBNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针
}RBNode, *RBTree;

void InitRBTree(RBTree *T)
{(*T) = NULL;
    printf("红黑树已初始化!\n");
}

// 创建新结点
RBNode *NewNode(int color, DataType x)
{RBNode *newNode;
    newNode = (RBNode *)malloc(sizeof(RBNode));
    newNode->data = x;
    newNode->color = color;    
    newNode->parent = newNode->lchild = newNode->rchild = NULL;
    return newNode;
}

// 右旋转， 
void RightRotate(RBNode *node, int flag)
{RBNode *parent = node->parent;
    RBNode *left = node->lchild;

    node->lchild = left->rchild;
    if (left->rchild)
    {left->rchild->parent = node;
    }
    
    left->rchild = node;
    node->parent = left;

    left->parent = parent;
    if (parent)
    {// flag = 0：node为父结点左孩子
        // flag = 1：node为父结点右孩子
        !flag ? (parent->lchild = left) : (parent->rchild = left);
    }
}

// 左旋转
void LeftRotate(RBNode *node, int flag)
{RBNode *parent = node->parent;
    RBNode *right = node->rchild;
    
    node->rchild = right->lchild;
    if (right->lchild)
    {right->lchild->parent = node;
    }
    
    right->lchild = node;
    node->parent = right;

    right->parent = parent;
    if (parent)
    {// flag = 0：node为父结点左孩子
        // flag = 1：node为父结点右孩子
        !flag ? (parent->lchild = right) : (parent->rchild = right);
    }
}


// 红黑树调整
void RBTreeAdjust(RBNode *node)
{// 父结点为红色，则父结点一定不是根结点，且祖父结点一定存在
    RBNode *father = node->parent;
    RBNode *grandfather = father->parent;
    RBNode *uncle;

    if (father && father == grandfather->lchild)
    {// 父亲为祖父的左孩子
        uncle = grandfather->rchild;
        // printf("\t父亲(%c)为祖父(%c)的左孩子\n", father->data, grandfather->data);
        if (uncle && uncle->color == 1)
        {// 若叔叔结点存在且为红色，则进行变色
            // printf("\t\t叔叔(%c)为红色，进行变色\n", uncle->data);
            father->color = 0;
            uncle->color = 0;
            grandfather->color = 1;
            // 递归调整祖父结点
            if (grandfather->parent && grandfather->parent->color == 1)
            {RBTreeAdjust(grandfather);
            }
            else if(!grandfather->parent)
            {grandfather->color = 0;
            }
        }
        // 叔叔结点不存在，或者为黑色
        else if (node == father->lchild)
        {// 若插入的结点是父亲的左孩子，则进行变色并对祖父进行右旋转
            // printf("\t\t叔叔为黑色，插入位置为父亲的左孩子\n");
            // printf("\t\t>>父结点(%c)变黑色，祖父(%c)边红色, 右旋祖父\n", father->data, grandfather->data);

            father->color = 0;
            grandfather->color = 1;
            RightRotate(grandfather, 0);
        }
        else
        {// 若插入的结点是父亲的右孩子，则对父亲进行左旋转
            // printf("\t\t叔叔为黑色，插入位置为父亲的右孩子\n");
            // printf("\t\t>>左旋父亲结点\n");
            
            LeftRotate(father, 0);
            RBTreeAdjust(father);
        }
    }
    else
    {// 父亲为祖父的右孩子
        uncle = grandfather->lchild;
        // printf("\t父亲(%c)为祖父(%c)的右孩子\n", father->data, grandfather->data);

        // 以下同理，对称操作
        if (uncle && uncle->color == 1)
        {// printf("\t\t叔叔(%c)为红色\n", uncle->data);
            father->color = 0;
            uncle->color = 0;
            grandfather->color = 1;
            // 递归调整祖父结点
            if (grandfather->parent && grandfather->parent->color == 1)
            {RBTreeAdjust(grandfather);
            }
            else  if(!grandfather->parent)
            {grandfather->color = 0;
            }
        }
        else if (node == father->lchild)
        {// printf("\t\t叔叔为黑色，插入位置为父亲的左孩子\n");
            // printf("\t\t>>右旋父亲结点\n");

            RightRotate(father, 1);
            RBTreeAdjust(father);
            
        }
        else
        {// printf("\t\t叔叔为黑色，插入位置为父亲的右孩子\n");
            // printf("\t\t>>父结点(%c)变黑色，祖父(%c)边红色, 左旋祖父\n", father->data, grandfather->data);

            father->color = 0;
            grandfather->color = 1;
            LeftRotate(grandfather, 1);
        }
    }
}

// 插入
void RBTreeInsert(RBTree *T, DataType x)
{// 若树为空，则创建新结点作为根结点
    if ((*T) == NULL)
    {// 性质二：根结点为黑色
        (*T) = NewNode(0, x);
        return;
    }

    // 根据二叉排序树的性质查找插入位置
    RBNode *node = (*T), *parent;
    while (node)
    {parent = node;
        if (node->data >x)
        {node = node->lchild;
        }
        else if (node->data< x)
        {node = node->rchild;
        }
        else
        {printf("插入失败，存在相同数据\n");
            return;
        }      
    }
    // 根据查找到的位置的父结点插入
    node = NewNode(1, x);
    if (parent->data >x)
    {parent->lchild = node;
    }
    else
    {parent->rchild = node;
    }
    node->parent = parent;
    
    
    // 若父结点为红色，则不符合性质三：红色结点的孩子结点均为黑色
    if (parent->color == 1)
    {// printf("父结点(%c)为红色，需要进行调整!\n", parent->data);
        RBTreeAdjust(node);
    }
}



// 先序遍历
void PreOrderTraverse(RBTree T)
{if (T)
    {printf("%c", T->data);
        T->color == 0 ? printf("[黑] ") : printf("[红] ");
        PreOrderTraverse(T->lchild);
        PreOrderTraverse(T->rchild);
    }
}


int main()
{RBTree T;
    DataType x;
    InitRBTree(&T);

    while (1)
    {fflush(stdin);
        printf("输入插入数据:");    // 测试数据：FEKDCABNMOP
        scanf("%c", &x);
        if (x == '#')
        {break;
        }
        RBTreeInsert(&T, x);
        printf("先序遍历:");
        PreOrderTraverse(T);
        printf("\n\n");
    }
    system("pause");
    return 0;
}
3. 测试结果

在这里插入图片描述
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文章标题：数据结构-创新互联
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