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Python科学计算——任意波形拟合

任意波形的生成 (geneartion of arbitrary waveform) 在商业，军事等领域都有着重要的应用，诸如空间光通信 (free-space optics communication)，高速信号处理 (high-speed signal processing)，雷达 (radar) 等。在任意波形生成后，如何评估生成的任意波形成为另外一个重要的话题。

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假设有一组实验数据，已知他们之间的函数关系：y=f(x)，通过这些信息，需要确定函数中的一些参数项。例如，f 是一个线型函数 f(x)=k*x+b，那么参数 k 和 b 就是需要确定的值。如果这些参数用 p 表示的话，那么就需要找到一组 p 值使得如下公式中的 S 函数最小：

这种算法被称之为最小二乘拟合 (least-square fitting)。scipy 中的子函数库 optimize 已经提供实现最小二乘拟合算法的函数 leastsq 。下面是 leastsq 函数导入的方式：

scipy.optimize.leastsq 使用方法

在 Python科学计算——Numpy.genfromtxt 一文中，使用 numpy.genfromtxt 对数字示波器采集的三角波数据导入进行了介绍，今天，就以 4GHz三角波波形的拟合为案例介绍任意波形的拟合方法。

在 Python科学计算——如何构建模型？一文中，讨论了如何构建三角波模型。在标准三角波波形的基础上添加了横向，纵向的平移和伸缩特征参数，最后添加了噪声参数模拟了三角波幅度参差不齐的随机性特征。但在波形拟合时，并不是所有的特征参数都要纳入考量，例如，噪声参数应是波形生成系统的固有特征，正因为它的存在使得产生的波形存在瑕疵，因此，在进行波形拟合并评估时，不应将噪声参数纳入考量，最终模型如下：

在调用 scipy.optimize.leastsq 函数时，需要构建误差函数：

有时候，为了使图片有更好的效果，需要对数据进行一些处理：

leastsq 调用方式如下：

合理的设置 p0 可以减少程序运行时间，因此，可以在运行一次程序后，用拟合后的相应数据对 p0 进行修正。

在对波形进行拟合后，调用 pylab 对拟合前后的数据进行可视化：

均方根误差 (root mean square error) 是一个很好的评判标准，它是观测值与真值偏差的平方和观测次数n比值的平方根，在实际测量中，观测次数n总是有限的，真值只能用最可信赖（最佳）值来代替.方根误差对一组测量中的特大或特小误差反映非常敏感，所以，均方根误差能够很好地反映出测量的精密度。

RMSE 用程序实现如下：

拟合效果，模型参数输出：

leastsq 函数适用于任何波形的拟合，下面就来介绍一些常用的其他波形：

Python 中的函数拟合

很多业务场景中，我们希望通过一个特定的函数来拟合业务数据，以此来预测未来数据的变化趋势。(比如用户的留存变化、付费变化等)

本文主要介绍在 Python 中常用的两种曲线拟合方法：多项式拟合和自定义函数拟合。

通过多项式拟合，我们只需要指定想要拟合的多项式的最高项次是多少即可。

运行结果：

对于自定义函数拟合，不仅可以用于直线、二次曲线、三次曲线的拟合，它可以适用于任意形式的曲线的拟合，只要定义好合适的曲线方程即可。

运行结果：

Python最小二乘法拟合与作图

在函数拟合中，如果用p表示函数中需要确定的参数，那么目标就是找到一组p，使得下面函数S的值最小：

这种算法称为最小二乘法拟合。Python的Scipy数值计算库中的optimize模块提供了 leastsq() 函数，可以对数据进行最小二乘拟合计算。

此处利用该函数对一段弧线使用圆方程进行了拟合，并通过Matplotlib模块进行了作图，程序内容如下：

Python的使用中需要导入相应的模块，此处首先用 import 语句

分别导入了numpy, leastsq与pylab模块，其中numpy模块常用用与数组类型的建立，读入等过程。leastsq则为最小二乘法拟合函数。pylab是绘图模块。

接下来我们需要读入需要进行拟合的数据，这里使用了 numpy.loadtxt() 函数：

其参数有：

进行拟合时，首先我们需要定义一个目标函数。对于圆的方程，我们需要圆心坐标(a,b)以及半径r三个参数，方便起见用p来存储：

紧接着就可以进行拟合了， leastsq() 函数需要至少提供拟合的函数名与参数的初始值：

返回的结果为一数组，分别为拟合得到的参数与其误差值等，这里只取拟合参数值。

leastsq() 的参数具体有：

输出选项有：

最后我们可以将原数据与拟合结果一同做成线状图，可采用 pylab.plot() 函数：

pylab.plot() 函数需提供两列数组作为输入，其他参数可调控线条颜色，形状，粗细以及对应名称等性质。视需求而定，此处不做详解。

pylab.legend() 函数可以调控图像标签的位置，有无边框等性质。

pylab.annotate() 函数设置注释，需至少提供注释内容与放置位置坐标的参数。

pylab.show() 函数用于显示图像。

最终结果如下图所示：

用Python作科学计算

numpy.loadtxt

scipy.optimize.leastsq

python_numpy最小二乘法的曲线拟合

在了解了最小二乘法的基本原理之后 python_numpy实用的最小二乘法理解，就可以用最小二乘法做曲线拟合了

从结果中可以看出，直线拟合并不能对拟合数据达到很好的效果，下面我们介绍一下曲线拟合。

b=[y1]

[y2]

......

[y100]

解得拟合函数的系数[a,b,c.....d]

CODE:

根据结果可以看到拟合的效果不错。

我们可以通过改变

来调整拟合效果。

如果此处我们把拟合函数改为最高次为x^20的多项式

所得结果如下：

矫正过拟合现象

在保持拟合函数改为最高次为x^20的多项式的条件下，增大样本数：

通过结果可以看出，过拟合现象得到了改善。

python拟合指数函数初始值如何设定

求拟合函数，首先要有因变量和自变量的一组测试或实验数据，根据已知的曲线y=f(x)，拟合出Ex和En系数。当用拟合出的函数与实验数据吻合程度愈高，说明拟合得到的Ex和En系数是合理的。吻合程度用相关系数来衡量，即R^2。首先，我们需要打开Python的shell工具，在shell当中新建一个对象member，对member进行赋值。 2、这里我们所创建的列表当中的元素均属于字符串类型，同时我们也可以在列表当中创建数字以及混合类型的元素。 3、先来使用append函数对已经创建的列表添加元素，具体如下图所示，会自动在列表的最后的位置添加一个元素。 4、再来使用extend对来添加列表元素，如果是添加多个元素，需要使用列表的形式。 5、使用insert函数添加列表元素，insert中有两个参数，第一个参数即为插入的位置，第二个参数即为插入的元素。origin拟合中参数值是程序拟合的结果，自定义函数可以设置参数的初值，也可以不设定参数的初值。

一般而言，拟合结果不会因为初值的不同而有太大的偏差，如果偏差很大，说明数据和函数不太匹配，需要对函数进行改正。X0的迭代初始值选择与求解方程，有着密切的关系。不同的初始值得出的系数是完全不一样的。这要通过多次选择和比较，才能得到较为合理的初值。一般的方法，可以通过随机数并根据方程的特性来初选。