【数据结构】图的基本操作-创新互联

一、问题描述

分别以邻接矩阵和邻接表作为存储结构，实现以下图的基本操作：

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• 增加一个新结点v，Insert(G,v)；
• 删除顶点v及其相关的边，Delete(G,v)；
• 增加一条边，Insert(G,v,w)；
• 删除一条边，Delete(G,v,w)；

二、设计思路

1、邻接矩阵实现：

邻接矩阵实现图的基本操作，主要通过二维数组寻址方式进行数据处理。函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。

邻接矩阵创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对二维数组初始化，边权为MaxInt，表示两点无关联。将顶点信息存储至顶点数组集中。存储数据时，依次循环根据输入边相关的两点以及权重，先通过顶点寻址函数寻找两点位置，后利用二维数组将矩阵相应位置边权赋予新值，完成数据存储。

顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。

增加顶点时，在顶点数组集中增加一位，并将邻接矩阵中多加的一行一列赋值为MaxInt。

删除顶点时，需要通过数组移动，列方面从待删点开始右侧数据，全部左移；行方面从待删顶点开始下方数据，全部上移。最后删除顶点在顶点数组中的位置。上述操作通过数组移动实现开销较大，也可以在删除时，将最后一个顶点相关信息替代删除顶点，因为本身顶点在数组中的位置无现实意义，可减少算法时间复杂度。

增加边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予新值即可。

删除边时，通过顶点寻址函数获取两个顶点位置，通过二维数组将邻接矩阵中对应的边权赋予MaxInt即可。

邻接矩阵打印，只需通过二维数组，将其各行各列依次输出，为了增加矩阵可观性，可输出行名、列名以及控制权重输出格式。

最后通过主函数测试上述所有的函数。

2、邻接表实现：

邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。

邻接表创建并存储，先根据输入的总顶点数、边数对邻接表初始化，数组单元接收顶点信息，由于开始无边，将各单元firstarc指针赋NULL，避免野指针。存储边信息时，创建两个边结点并创建相应指针，在边结点中存储边权以及关联点通过顶点寻址函数查找的下标（如a、b两个顶点，则边结点e1中adjvex存放为b的下标，边结点e2中adjvex存放为a的下标）。并将边结点插入各自数组单元的关联顶点链表首结点（即被各单元firstarc指针指向）。

顶点寻址函数设计，只需根据顶点信息，在顶点数组集中遍历，返回其对应数组下标即可。

增加顶点，只需在邻接表数组单元vertices中存储新的顶点信息，并将其firstarc指针赋值为NULL。

删除顶点，下述操作：先删除待删顶点中所有关联顶点链表中其他顶点信息 ；用最后一个顶点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)。实现操作需要遍历邻接表数组单元vertices中关联顶点链表中所有的adjvex，与待删顶点的位置下标比对，相同时删除该结点。结点删除时，需要单独优先考虑表头首结点元素中adjvex是否为待删结点下标，循环删除至表头结点adjvex不为待删结点下标为止，遍历后续所有结点（优先考虑的原因是表头结点有一个firstarc指向问题，不考虑则会出现断链情况）。删除完待删结点在其他单元的信息时，循环待删结点所在单元格关联顶点链表所有结点，将firstarc赋值为NULL。最后将数组vertices中最后一个顶点替代待删结点位置（数组前移覆盖会增加额外的开销）。

增加边即为上述邻接表存储步骤单次操作，通过创建两个边结点，分别赋值相应数据后，插入两个对应vertices单元格的关联顶点链表的表头（即成为首结点）。

删除边，即为删除顶点中单次操作，先定位待删边的两个顶点位置，然后遍历两个顶点对应数组vertices单元中的关联顶点链表，查找adjvex的值，删除含有对应顶点位置的边结点，同样注意单独考虑首结点是否含有删除对应顶点位置信息。

用于删除函数多次使用，因此在优化时，将输出函数提取。

邻接表打印时，依次访问vertices所有单元中的关联顶点链表，输出所有其中边结点的adjvex对应的顶点信息以及边权。

最后通过主函数测试上述所有函数。

三、代码展示

1、邻接矩阵实现：

#includeusing namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define MaxInt 32767			//初始化边权无穷大
#define MVNum 100
#define VerTexType char
#define ArcType int

typedef struct AMGraph{		//定义邻接矩阵
 VerTexType vexs[MVNum];   	//创建顶点集
 ArcType arcs[MVNum][MVNum];  //创建邻接矩阵
 int vexnum,arcnum;   			//存放当前图的总顶点数和边数
};

int VexLocate(AMGraph &G,VerTexType u){	//返回顶点在顶点集的位置
 for(int i=0;i>G.vexnum>>G.arcnum;  		//输入图的顶点数和边数
 cout<<"请输入顶点信息：";
 for(int i=0;i>G.vexs[i];
 }
 for(int i=0;i>v1>>v2>>w;    				//依次输入两个顶点以及所构边的权重
  G.arcs[VexLocate(G,v1)][VexLocate(G,v2)]=w;
  G.arcs[VexLocate(G,v2)][VexLocate(G,v1)]=w;
 }
 return OK;
}

Status VexInsert(AMGraph &G,VerTexType v){	//插入顶点
 G.vexs[G.vexnum]=v;     //由于数组下标比数量少1，可用旧顶点数做下标
 							  //增加新顶点 
 G.vexnum++;      		  //顶点数加1 
 for(int i=0;i>v1;
 VexInsert(G,v1);			//插入顶点
 AMGraphPrint(G);			//打印无向邻接矩阵
 cout<<"请输入要删除的顶点：";
 cin>>v2;
 VexDelete(G,v2);			//删除顶点
 AMGraphPrint(G);			//打印无向邻接矩阵
 cout<<"请输入增加边的两个顶点及边权重：";
 cin>>v1>>v2>>w;
 ArcInsert(G,v1,v2,w);		//插入边
 AMGraphPrint(G);			//打印无向邻接矩阵
 cout<<"请输入删除边的两个顶点：";
 cin>>v1>>v2;
 ArcDelete(G,v1,v2);		//删除边
 AMGraphPrint(G);			//打印无向邻接矩阵
 return 0;
}

2、邻接表实现：

#includeusing namespace std;
typedef int Status;
#define OK 1
#define ERROR -1
#define VerTexType char
#define ArcType int
#define MVNum 50 

typedef struct ArcNode{    //边结点 
 int adjvex;     			//该边所指向的顶点位置
 struct ArcNode* nextarc;  //指向下一条边指针
 int weight;     			//边的权重 
};

typedef struct VNode{   	//顶点信息 
 VerTexType data;   		//顶点数据 
 ArcNode *firstarc;   		//指向第一条与该点相连的边的指针 
}VNode,AdjList[MVNum];   	//邻接表 

typedef struct{     		//定义图 
 AdjList vertices;   		//顶点表 
 int vexnum,arcnum;   		//图当前顶点数与边数 
}ALGraph;

int VexLocate(ALGraph &G,VerTexType v){  //顶点定位，找出其在邻接表
 												//中数组下标的位置 
 for(int i=0;iadjvex].data<<"("<weight<<")"<<"\t"; 
 									//输出与该顶点相连的所有点以及边的权重
   p=p->nextarc;
  }
  cout<adjvex==pos2){      //由于firstarc指针固定，不能单纯删除p
 									//的结点，因此表头结点需要单独考虑 
  G.vertices[pos1].firstarc=p->nextarc; //如果表头结点存放连接信息为
 										  //要删结点位置信息pos2，直接删除
  delete p;
 }
 else{
  while(p!=NULL){       		//否则从p开始循环遍历表中所有连接点
   if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos2){  //如果找到要删
 											  //结点pos2，进行链表删除操作
    ArcNode* temp=p->nextarc;
    p->nextarc=p->nextarc->nextarc;
    delete temp;
    break;
   }
   p=p->nextarc;      			//没有找到，p指针后移 
  }
 }
 return OK;
}

Status UDGCreate(ALGraph &G){		//邻接表创建并存储数据
 cout<<"请输入图的总顶点数和总边数：";
 cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
 cout<<"请输入顶点信息：";
 for(int i=0;i>G.vertices[i].data;    	   //输入顶点数据 
  G.vertices[i].firstarc=NULL;
 }
 VerTexType v1,v2;
 ArcType w;
 int pos1,pos2;
 cout<<"请输入边的两顶点及所构边的权重："<>v1>>v2>>w;
  pos1=VexLocate(G,v1);     	   //获取顶点v1位置 
  pos2=VexLocate(G,v2);     	   //获取顶点v2位置 
  ArcNode* p1=new ArcNode;    	   //创建边结点 
  p1->adjvex=pos2;     		   //v1开始的边所连另一端为v2位置
  p1->weight=w;
  p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;  
  G.vertices[pos1].firstarc=p1;    //将边加入v1的边表头部
  ArcNode* p2=new ArcNode;     	 //创建边结点
  p2->adjvex=pos1;       			 //v2开始的边所连另一端为v1
  p2->weight=w;
  p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;
  G.vertices[pos2].firstarc=p2;    //将边加入v2的边表头部 
 }
 return OK; 
}

Status VexInsert(ALGraph &G,VerTexType v){  //实现顶点的插入 
 G.vertices[G.vexnum].data=v;    //由于数组下标从0开始，则新增顶点存
 									   //放位置为G.vexnum 
 G.vertices[G.vexnum].firstarc=NULL; //避免野指针情况，指针域为NULL 
 G.vexnum++;         			   //顶点数自增 
}

Status VexDelete(ALGraph &G,VerTexType v){  //顶点删除 
 int pos=VexLocate(G,v);      	//查找待删除顶点 
 for(int i=0;iadjvex==pos){
//   G.vertices[i].firstarc=p->nextarc;
//   delete p;
//  }
//  else{
//   while(p!=NULL){
//    if(p->nextarc!=NULL&&p->nextarc->adjvex==pos){
//     ArcNode* temp=p->nextarc;
//     p->nextarc=p->nextarc->nextarc;
//     delete temp;
//     break;
//    }
//    p=p->nextarc;
//   }
//  }
 }
 
//下述操作：1、先删除待删顶点中所有连接表中其他顶点信息 2、用最后一个顶
//点替代删除结点位置(目的在于避免顶点表中出现废弃点占位情况)
 ArcNode* p=G.vertices[pos].firstarc;  //p指向待删顶点的第一个连接
 										   //点的边的指针 
 G.vertices[pos].firstarc=NULL;     //野指针问题，删除记得赋值为NULL，
 										  //否则运行无结果 
 while(p!=NULL){        //循环删除该点连接表下所有顶点信息 
  ArcNode* temp=p;
  p=p->nextarc;
  delete temp;
 }
 G.vertices[pos]=G.vertices[G.vexnum-1];  //将最后一个顶点替代删除
 												 //顶点的位置 
 G.vexnum--;         						 //顶点数自减 
 return OK; 
}

Status ArcInsert(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2,int w){  
 												//插入边 
 int pos1,pos2;
 pos1=VexLocate(G,v1);
 pos2=VexLocate(G,v2);
 ArcNode* p1=new ArcNode;     //创建边结点 
 p1->adjvex=pos2;       		//v1开始的边所连另一端为v2位置 
 p1->weight=w;
 p1->nextarc=G.vertices[pos1].firstarc;  
 G.vertices[pos1].firstarc=p1;//将边加入v1的边表头部
 ArcNode* p2=new ArcNode;     //创建边结点
 p2->adjvex=pos1;       		//v2开始的边所连另一端为v1
 p2->weight=w;
 p2->nextarc=G.vertices[pos2].firstarc;
 G.vertices[pos2].firstarc=p2;    //将边加入v2的边表头部
 G.arcnum++;         			//边数自增 
 return OK;
}

Status ArcDelete(ALGraph &G,VerTexType v1,VerTexType v2){ //删除边
 int pos1,pos2;
 pos1=VexLocate(G,v1);      //存放删除边的第一个顶点位置 
 pos2=VexLocate(G,v2);      //存放删除边的第二个顶点位置 
 ArcNode* p1=G.vertices[pos1].firstarc;  //指向第一个顶点的连接表中
 												//与该顶点相连的边的指针 
 ArcNode* p2=G.vertices[pos2].firstarc;  //指向第二个顶点的连接表中
 												//与该顶点相连的边的指针
 Delete(G,pos1,pos2);      //在第一个顶点连接表中删除第二顶点的信息 
 Delete(G,pos2,pos1);      //在第二个顶点连接表中删除第一顶点的信息
 
 //下半部份代码用Delete()函数进行优化替代 
// if(p1&&p1->adjvex==pos2){
//  G.vertices[pos1].firstarc=p1->nextarc;
//  delete p1;
// }
// else{
//  while(p1!=NULL){
//   if(p1->nextarc!=NULL&&p1->nextarc->adjvex==pos2){
//    ArcNode* temp=p1->nextarc;
//    p1->nextarc=p1->nextarc->nextarc;
//    delete temp;
//    break;
//   }
//   p1=p1->nextarc;
//  }
// }
// if(p2&&p2->adjvex==pos1){
//  G.vertices[pos2].firstarc=p2->nextarc;
//  delete p2;
// }
// else{
//  while(p2!=NULL){
//   if(p2->nextarc!=NULL&&p2->nextarc->adjvex==pos1){
//    ArcNode* temp=p2->nextarc;
//    p2->nextarc=p2->nextarc->nextarc;
//    delete temp;
//    break;
//   }
//   p2=p2->nextarc;
//  }
// }
 G.arcnum--;				//边数自减
 return OK;
}



int main(){
 ALGraph G;
 UDGCreate(G);         	//构建图 
 ALGraphprint(G);         //打印图 
 VerTexType v1,v2;
 int w;
 cout<<"请输入要插入的顶点：";
 cin>>v1;
 VexInsert(G,v1);        //插入顶点 
 ALGraphprint(G);
 cout<<"请输入要删除的顶点：";
 cin>>v1;
 VexDelete(G,v1);        //删除顶点 
 ALGraphprint(G);
 cout<<"请输入要插入边的两顶点及边权重：";
 cin>>v1>>v2>>w;
 ArcInsert(G,v1,v2,w);   //插入边 
 ALGraphprint(G);
 cout<<"请输入要删除边的两顶点：";
 cin>>v1>>v2;
 ArcDelete(G,v1,v2);     //删除边 
 ALGraphprint(G);
 return 0;
}

四、结果展示

1、邻接矩阵结果：

2、邻接表结果：

五、算法时间复杂度

1、邻接矩阵实现图的基本操作，函数包括：邻接矩阵创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接矩阵打印。其中操作建立于二维数组，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂度为O(n2)。

2、邻接表实现图的基本操作，主要通过数组+链表方式进行数据处理。函数包括：邻接表创建并存储数据、顶点寻址、增加顶点、删除顶点、增加边、删除边、邻接表打印。其中操作主要建立于链表上，与数据规模有关，设总顶点数与总边数数据规模为n，则总体算法时间复杂为O(n)。

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